РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт истории естествознания и техники им.
С.И. Вавилова

 

 

 

Методические материалы

для подготовки к кандидатскому экзамену по

ИСТОРИИ И ФИЛОСОФИИ НАУКИ

 

 

 

 

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

 

Несколько вводных замечаний об истории математики

Демидов С. С.

 

 

 

1. Об истории математики как науке

 

История математики одна из наиболее почтенных по возрасту областей знания. Она немногим моложе самой математики, сложившейся как теорети­ческая наука в VI-V вв. до н.э. в Древней Греции. Первый известный нам ис­торик математики - ученик Аристотеля Евдем Родосский (IV в. до н.э.), автор не дошедшей до нас истории геометрии. В дальнейшем она следовала в фар­ватере самой математики, переживая вместе с ней периоды подъема и упад­ка. Интерес к истории математики несколько усилился в эпоху Возрождения (П. Рамус (1515-1572), Б. Бальди (1533-1617)) и получил значительное разви­тие в XVIII веке, в значительной мере благодаря поддержке молодых акаде­мий наук. Здесь мы назовем имена парижских академиков Ж. Монткжла (1725-1799), автора «Истории математики», вышедшей в двух томах в 1758 г. и переизданной в четырех томах в 1799-1802 гг., и Ш. Боссю (1730-1814), опуб­ликовавшего в 1800 г. получивший широкую известность двухтомный «Опыт общей истории математики», а также геттингенского профессора А.Г. Кестнера (1717-1800), не успевшего, правда, довести до конца «Историю матема­тики от возрождения наук до конца XVIII столетия», изданную в 1796-1800 гг. В XIX в. этот интерес не ослабевал - достаточно упомянуть имена Г. Либри (1803-1869) с его четырехтомной «Историей математических наук в Италии» (1838-1841) и М. Шаля (1793-1880) с «Историческим обзором происхождения и развития геометрических методов» (1837). Однако начало формирования истории математики как самостоятельного раздела современной науки, при­ходится на 70-90-е гг. XIX в., когда начинаются систематические исследова­ния в этой области, появляются специализированные журналы, возникает историко-математическое сообщество (М. Кантор (1829-1920) и И. Тропфке (1866-1939) в Германии, Г. Цейтен (1839-1920) в Дании, П. Таннери (1843-1904) во Франции, В.В. Бобынин (1849-1919) и И.Ю. Тимченко (1863-1939) в России, Г. Энестрем (1852-1923) в Швеции, Э. Бортолотти (1866-1947) в Ита­лии). Ведущими фигурами в этом сообществе становятся М. Кантор и Г. Цей­тен. Первому из них принадлежат фундаментальные четырехтомные «Лек­ции по истории математики» (в 1880-1908 гг., переизданные дважды; послед­ний четвертый том, посвященный математике XVIII в., был написан между­народным коллективом авторов), Г. Цейтену - известные книги «Учение о ко­нических сечениях в древности» (1884), «История математики в древности и в средние века» (1893; русск. перевод 1932), «История математики в XVI и XVII веках» (1903; русск. перевод 1933). С этими авторами связывают два основные подхода к изучению математики прошлого - антикваристский, когда матери­ал исследуется исключительно в современном изучаемому памятнику исто­рическом контексте (М. Кантор), и презентистский, когда изучение ведется с позиций современной исследователю науки (Г. Цейтен). В XX в. история мате­матики - активно развивающаяся дисциплина, в которой работают как математики (например, Д. Огройк (1894-2000), Б. ван дер Варден (1903-1996), А.Н. Колмогоров (1903-1987), А. Вейль (1906-1998), Ж. Дьедонне (1906-1992), Б.В. Гнеденко (1912-1995)), так и профессиональные историки математики (такие как Т. Хис (1861-1940), О. Нейгебауэр (1899-1990), А.П. Юшкевич (1906-1993), Д. Уайтсайд (р. 1932)).

 

 

2. Зачем нужна математику история математики?

 

История математики как научная дисциплина предстает перед нами в двух обличьях. С одной стороны, это - часть истории науки (ибо нельзя мыс­лить развитие математики вне идеологии и реальной практики науки в це­лом, в частности, механики и физики, границы которых с математикой ока­зываются подчас совершенно условными), тесно связанная с философией. С другой стороны, это - дисциплина, изучающая саму математику, рассматри­ваемую в историческом измерении. С этой точки зрения, она оказывается в том же ряду, что и философия и основания математики. То есть в ряду дис­циплин практически математических (во всяком случае требующих основа­тельной математической квалификации). В этом втором обличье история ма­тематики и является необходимой составной частью полноценного математи­ческого образования. Прежде всего, математик должен иметь представление о пути, пройденном его наукой от зарождения первых ее понятий и методов до современного ее состояния, т.е. научиться видеть ее не в статике, а в дина­мике развития. «Она должна ответить на вопросы о том, как возникали и раз­вивались основные математические понятия, идеи и методы, какие основные периоды прошла в своем развитии математика, каков исторический путь от­дельных математических дисциплин и теорий, в какой связи с практически­ми потребностями людей и задачами других наук происходило развитие ма­тематики, как проявлялась в нем внутренняя логика развития, какой харак­тер носила математика различных народов, чем прославили себя великие ма­тематики прошлого, с именами которых должен быть знаком всякий куль­турный математик, какой вклад в историю науки внесли отечественные мате­матики...», - писала в 1955 г. во «Вводной лекции к курсу "История математи­ки"», читавшемуся на механико-математическом факультете МГУ, замечате­льный историк и философ математики С.А. Яновская (1896-1966) (Историко-математические исследования. М., 1958. Вып.11. С.193-194).

История математики, предлагая разнообразный фактический материал, не учит как должен вести себя действующий математик: как выбирать тему исследования, как решать задачу, но сознательно подойти к подобным вопро­сам в состоянии лишь человек, знающий историю.

Правильно оценить соот­ношение прикладных и не имеющих сегодня приложений исследований мож­но только, зная историю. Пытаться оценить место решаемой задачи в сегод­няшней математике и в ходе ее развития можно только, зная историю. Вооб­ще, размышлять о математике, о ее задачах, целях, месте в современной ку­льтуре можно только, опираясь на ее историю. В этом практическое значение истории математики для всякого лица, претендующего быть в математике Мастером.

Через историю математики действующий математик оказывается способным воспринимать связь своей деятельности со всем многообразием проявлений человеческой культуры - в этом состоит гуманитарное ее значение.

Значимость истории математики для математического творчества пре­восходно чувствовали выдающиеся ее деятели. Поэтому неудивительно, что великий А.Н. Колмогоров находил время и для чтения трудов И. Ньютона, и для написания историко-математических сочинений, и для редактирования книг историко-математического содержания.

 

 

 

ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

«История и философия науки»

 

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

 

Программа-минимум разработана Институтом истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН и Московским государственным универси­тетом им. М.В. Ломоносова (механико-математический факультет).

Авторы программы - д.ф.-м.н. С.С. Демидов, д.филос.н. А.Г. Барашев, к.ф.-м.н. С.С. Петрова. При ее подготовке были учтены замечания члена-кор­респондента РАН А.Н. Паршина, д.ф.-м.н. М.И. Зеликина и д.ф.-м.н. В.М. Ти­хомирова.

 

1. Периодизация истории математики

1.1. Основные этапы развития математики: периодизация А. Н. Колмогорова

 

2. Математика Древнего мира

2.1. Истоки математических знаний. Первоначальные астрономические и математические представления эпохи неолита. Представления о числах и фигурах в первобытном обществе. Системы счисления.

2.2. Математика в догреческих цивилизациях. Древний Египет - источни­ки, нумерация, арифметические и геометрические знания.

Древний Вавилон - источники, шестидесятеричная позиционная систе­ма счисления. Арифметика. Решение линейных, квадратных уравнений и си­стем уравнений с двумя неизвестными. «Пифагорейские тройки». Числовой, алгоритмический характер вавилонской математики. Геометрические зна­ния. Проблема влияния египетской и вавилонской математики на последую­щее развитие математического знания.

2.3. Древняя Греция. Источники. Рождение математики как теоретиче­ской науки. Фалес. Пифагорейцы. Место математики в пифагорейской систе­ме знания. Арифметика пифагорейцев. Первая теория отношений. Откры­тие несоизмеримости. Классификация иррациональностей Теэтета. Геомет­рическая алгебра. Геометрия циркуля и линейки. Знаменитые задачи древно­сти - удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга - и их решение в XIX в.; трансцендентность числа «пи» и седьмая проблема Д. Гильберта. Па­радоксы бесконечного. Апории Зенона. Атомизм Демокрита. Евдокс. Строе­ние отрезка. Роговидные углы. Аксиома Евдокса-Архимеда. Теория отноше­ний Евдокса. «Метод исчерпывания». Место математики в философии Пла­тона. «Математический платонизм» как взгляд на сущность математики. Ма­тематика в философской концепции Аристотеля.

2.4. Математика эпохи эллинизма. Синтез греческих и древневосточных социокультурных и научных традиций. Аксиоматическое построение матема­тики в «Началах» Евклида. Структура «Начал». Правильные многогранники и структура космоса. Архимед. Дифференциальные и интегральные методы. Аполлоний. Теория конических сечений. Роль теории конических сечений в развитии математики и математического естествознания (законы Кеплера, динамика Ньютона). Ценностные иерархии объектов, средств решения задач и классификация кривых в античной геометрии. Математика первых веков новой эры (Герон, Птолемей). «Арифметика» Диофанта. Роль диофантова анализа в истории алгебры и алгебраической геометрии с древности до на­ших дней (решение проблемы Морделла, доказательство Великой теоремы Ферма). Представления о предмете и методах математики у неоплатоников, «математический платонизм» как развитие этих представлений. Закат антич­ной культуры и комментаторская деятельность математиков поздней антич­ности.

2.5. Математика в древнем и средневековом Китае. Китайская нумерация и арифметические действия. «Математика в девяти книгах» - выдающийся куль­турный памятник древнего Китая. Структура математического текста. Геомет­рия, теория пропорций, системы линейных уравнений, инфинитезимальные про­цедуры, отрицательные числа. Счетная доска и вычислительные методы.

2.6. Математика в древней и средневековой Индии. Источники. Цифровая позиционная система. Появление записи нуля. Дроби. Задачи на пропорции. Линейные и квадратные уравнения. Неопределенные уравнения. Отрицате­льные и иррациональные числа. Суммирование бесконечных рядов. Геомет­рические знания. Достижения в области тригонометрии.

 

3. Математика Средних веков и эпохи Возрождения

3.1. Средневековая математика как специфический период в развитии ма­тематического знания. Математика арабского Востока. Переводы греческих авторов. Трактат ал-Хорезми «Об индийском счете» и победное шествие «арабских» цифр по средневековой Европе. «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы». Классификация квадратных уравнений. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Омар Хайям. Кубические уравнения. Практический характер математики. Геометрические исследования: теория параллельных в связи с попытками доказать V постулат Евклида. Арифметизация теории квадратичных иррациональностей в работах арабских коммен­таторов Евклида. Инфинитезимальные методы. Отделение тригонометрии от астрономии и превращение ее в самостоятельную науку.

3.2. Математика в средневековой Европе. Математика в Византии. Перево­ды с арабского и греческого. Индийская нумерация, коммерческая арифме­тика, арифметическая и геометрическая прогрессии, практически ориенти­рованные геометрические и тригонометрические сведения у Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Творчество Фибоначчи. «Арифметика, изложенная в 10 книгах» И. Неморария. Развитие античных натурфилософских идей и ма­тематика. Оксфордская и Парижская школы. Схоластические теории изме­нения величин (учение о конфигурации качеств, о широтах форм) как пред­восхищение математики переменных величин XVH в. Дискуссии по пробле­мам бесконечного, непрерывного и дискретного в математике.

3.3. Математика в эпоху Возрождения. Проблема решения алгебраиче­ских уравнений, расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней в радикалах. Алгебра Виета. Проблема перспективы в живописи Ренессанса и математика. Иррациональные числа. Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Кардано, Р. Бомбелли и др.). Десятичные дроби. Тригонометрия в астрономических сочинениях.

 

4. Рождение и первые шаги математики переменных величин

4.1. Математика и научно-техническая революция XVI-XVH вв. Механи­ческая картина мира и математика. Новые формы организации науки. Разви­тие вычислительных средств - открытие логарифмов. Жизнь и творчество Р. Декарта. Число у Декарта. Рождение аналитической геометрии.

Теоретико-числовые проблемы в творчестве Ферма. Создание основ проективной геометрии в работах Дезарга и Паскаля. Переписка Ферма и Па­скаля и первые теоретико-вероятностные представления. Появление стати­стических исследований.

Развитие интеграционных и дифференциальных методов в ХУП в. (И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль). Жизнь и творчество И. Ньютона и Г. Лейбница. Открытие Ньютоном и Лейбницем дифференциального и ин­тегрального исчисления. Спор о приоритете и различия в подходах. Первые шаги математического анализа (И. и Я. Бернулли и др.). Проблема обоснова­ния дифференциального и интегрального исчислений и критика Беркли.

4.2. Математика и Великая французская революция. Создание Политехниче­ской и Нормальной школ и их влияние на развитие математики и математиче­ских наук. Развитие математического анализа в ХУШ в. Расширение поля иссле­дований и выделение основных ветвей математического анализа - дифференци­ального и интегрального исчислений в узком смысле слова, теории рядов, теории дифференциальных уравнений - обыкновенных и с частными производными, теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления. Мате­матическая трилогия Л. Эйлера. Жизнь и творчество Л. Эйлера, Классифика­ция функций у Эйлера. Основные понятия анализа. Обобщение понятия сум­мы ряда. Спор о колебании струны. Развитие понятия функции. Расширение понятия решения дифференциального уравнения с частными производными -понятия классического и обобщенного решений, появление понятия обобщен­ной функции в XX столетии. Проблема обоснования алгоритмов дифференци­ального и интегрального исчислений. Подходы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Л. Карно, Ж. Даламбера. Вариационные принципы в естествознании.

 

5. Период современной математики

5.1. Математика XIX в. Организация математического образования и математических исследований. Ведущие математические школы. Математи­ческие журналы и общества. Школа К. Вейерштрасса. Жизнь и деятельность С.В. Ковалевской. Организация первых реферативных журналов и междуна­родных математических конгрессов - в Цюрихе (1897), Париже (1900). Нача­ло издания в Германии «Энциклопедии математических наук». Доклад Д. Ги­льберта «Математические проблемы» (1900).

 

5.2. Реформа математического анализа. Идеи Б. Больцано в области тео­рии функций. О. Коши и построение анализа на базе теории пределов. Не­стандартный анализ А. Робинсона (1961) и проблема переосмысления исто­рии возникновения и первоначального развития анализа бесконечно малых. К. Вейерштрасс и арифметизация анализа. Теория действительного числа (Г. Кантор, Р. Дедекинд). Г. Кантор и создание теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств. Создание теории функций действительного пе­ременного (А. Лебег, Р. Бэр, Э. Борель).

5.3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Проблема интег­рируемости уравнений в квадратурах (результаты Ж. Лиувилля по интегри­рованию уравнения Риккати, С. Ли и его подход к проблеме). Перестройка оснований теории в трудах О. Коши (задача Коши, доказательство существо­вания решения задачи Коши). Линейные дифференциальные уравнения, тео­рия Штурма-Лиувилля, аналитическая теория дифференциальных уравне­ний.

Качественная теория А. Пуанкаре и теория устойчивости А.М. Ляпуно­ва. Теория динамических систем - от А. Пуанкаре до КАМ-теории.

5.4. Теория уравнений с частными производными. Теория уравнений перво­го порядка (теория Лагранжа-Шарпи, работы И. Пфаффа, О. Коши и К. Якоби, «второй метод Якоби», теория С. Ли). Общая геометрическая тео­рия уравнений с частными производными (С. Ли, Э. Картан, Д.Ф. Егоров).

Теория потенциала и теория теплопроводности Ж.-Б. Фурье и теория уравнений математической физики. Классификация уравнений по типам (эл­липтические, параболические и гиперболические) П. Дюбуа-Реймона. Теоре­ма Коши-Ковалевской. Понятие корректности краевой задачи по Ж. Адамару. Взгляд на общую теорию как на общую теорию краевых задач для уравне­ний различных типов. Системы уравнений с частными производными. 19-я и 20-я проблемы Гильберта и теория эллиптических уравнений в XX в.

5.5. Теория функций комплексною переменного. Геометрическая интерпре­тация комплексных чисел. О. Коши и его результаты в построении теории функций комплексного переменного. Геометрическая теория функций комп­лексного переменного Б. Римана. Римановы поверхности. Принцип Дирихле. Аналитическое направление К. Вейерштрасса теории функций комплексно­го переменного. Целые и мероморфные функции. Теорема Пикара. Абелевы функции. Автоморфные функции. Унисрормизация.

5.6. Эволюция геометрии в Х1Х-начале XX вв. Создание проективной гео­метрии. Жизнь и творчество К.-Ф. Гаусса. Дифференциальная геометрия. От­крытие Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Априоризм Канта и неев­клидова геометрия. Интерпретации неевклидовой геометрии. Риманова гео­метрия. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. «Основания геометрии» Д. Ги­льберта и эволюция аксиоматического метода (содержательная, полуформа­льная, формальная аксиоматизации).

Рождение топологии. Комбинаторная топология А. Пуанкаре. Диссерта­ция М. Фреше (1906). Теория топологических пространств. Теория размерно­сти. Возникновение алгебраической топологии.

Геометрическая теория алгебраических уравнений. Идеи Р. Клебша и М. Нетера. Итальянская школа алгебраической геометрии. Аналитическая теория многообразий.

5.7. Эволюция алгебры в XIX- первой трети XX в.. Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Э. Галуа и рождение теории групп. Развитие теории групп в XIX в. (А. Кэли, К. Жор дан, теория непрерывных групп С. Ли). Аксиоматика теории групп. Теория групп и физика (кристал­лография, квантовая механика). Развитие линейной алгебры. Английская школа символической алгебры. Кватернионы У. Гамильтона, гиперкомплек­сные системы, теория алгебр. Теория алгебраических чисел. Формирование понятий тела, поля, кольца. Формирование «современной алгебры» в трудах Э. Нетер и ее школы. Эволюция предмета алгебры от теории алгебраических уравнений до теории алгебраических структур.

5.8. Аналитическая теория чисел. Проблема распределения простых чи­сел (К.-Ф. Гаусс, П. Дирихле, П.Л. Чебышев, Ж. Адамар, Ш. Валле-Пуссен), теория трансцендентных чисел (Ж. Лиувилль, Ш. Эрмит, А.О. Гельфонд), аддитивные проблемы — проблема Гольдбаха (И.М. Виноградов) и проблема Варинга (Д. Гильберт, Г. Харди). Алгебраическая теория чисел — работы К.-Ф. Гаусса, обоснование теории делимости для полей корней из единицы (Э. Куммер), а затем для произвольных полей алгебраических чисел (Р. Деде­кинд, Е.И. Золотарев, Л. Кронекер), доказательство квадратичного и биквадратичного (К.-Ф. Гаусс), а затем и кубического закона взаимности (Г. Эйзенш­тейн, К. Якоби). Геометрическая теория чисел (Г. Минковский, Г.Ф. Вороной).

5.9. Вариационное исчисление Эйлера. Создание метода вариаций. Вторая вариация и условия Лежандра и Якоби. Теория сильного экстремума Вейер­штрасса. Теория Гамильтона-Якоби. Инвариантный интеграл Гильберта. Ва­риационные задачи с ограничением. Теория экстремальных задач в XX в. Принцип максимума Понтрягина.

Рождение функционального анализа: «функциональное исчисление» В. Вольтерра, С. Пинкерле, исследования по интегральным уравнениям (И. Фредгольм, Д. Гильберт), вариационному исчислению. Понятие гильбер­това пространства. Банаховы пространства (С. Банах, Н. Винер).

5.10. Развитие теории вероятностей во второй половине XIX-первой трети XX вв. Формирование основ теории вероятностей. Трактат Я. Бернулли «Ис­кусство предположений». Появление основных теорем теории вероятностей. П. Лаплас и теория вероятностей. Предельные теоремы теории вероятнос­тей. Петербургская школа П.Л. Чебышева и теория вероятностей ХIХ - начала XX вв. Проблема аксиоматизации теории вероятностей. Аксиоматика ... А.Н. Колмогорова.

5.1 Г, Математическая логика и основания математики в XIX - первой поло­вине XX вв. Предыстория математической логики. Символическая логика Г. Лейбница. Квантификация предиката. Логика А. де Моргана. Алгебра ло­гики Дж. Буля и У. Джевонса. Символическая логика Дж. Венна. Алгебра ло­гики Э. Шредера и П.С. Порецкого. Исчисление высказываний Г. Фреге. «Формуляр математики» Дж. Пеано. «Principia Mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда. Работы по основаниям геометрии и арифметики конца XIX в. Кризис в основаниях математики в начале века и попытки выхода из него: ло­гицизм, формализм, интуиционизм. Формалистское понимание математиче­ского существования. Непротиворечивость как основная характеристика ма­тематической теории. Конструктивизм. Аксиоматизация теории множеств. Континуум-гипотеза и попытки ее доказательства от Г. Кантора до П. Коэна. Результаты К. Геделя и кризис гильбертовской программы обоснования мате­матики Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология. Реак­ция на нее математического сообщества.

5.12. История вычислительной техники. Абак, механические счетные ма­шины (В. Шиккард, Б. Паскаль, Г. Лейбниц, П.Л. Чебышев), аналитическая машина Ч. Бэббеджа, электромеханические счетные машины, создание элек­тронных вычислительных машин. Появление персональных компьютеров. Экспансия информатики. Допустимость компьютерного доказательства -проблема четырех красок.

5.13. Математика XX в. Основные этапы жизни математического сооб­щества - до Первой мировой войны, в промежутке между Первой и Второй мировыми войнами, во второй половине XX в. Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, премии (Филдсовская премия, премия Р. Неванлинны и др.). Ведущие математические школы и Ш1ституть1. Творчество А. Пуанкаре и Д. Гильберта.

 

6. Математика в России и в СССР

6.1. Математика в России до середины XIX в Математические знания в до­петровской Руси. Математика в Академии наук в XVIII в. Школа Л. Эйлера. Реформы Александра I. Жизнь и творчество Н.И. Лобачевского.

6.2. Математика в России во второй половине XIX в. Реформы Александ­ра П. Жизнь и творчество П.Л. Чебышева. Школа ПА. Чебышева. Создание Московского математического общества и деятельность Московской философско-математической школы.

6.3. Математика в России и в СССР в XX в. Организация математической жизни в стране накануне Первой мировой войны. Конфронтация Петербурга и Москвы. Рождение Московской школы теории функций действительного переменного. Математика в стране в первые годы Советской власти. Идеоло­гические бури 30-х гг. Рождение Советской математической школы. Матема­тические съезды и конференции, издания, институты. Ведущие математиче­ские центры. Творчество А.Н. Колмогорова.

Список рекомендуемой литературы

1 Бурбаки И. Очерки по истории математики М, 1963

2 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под р«д А П Юшкевича. М, 1970-1972, Т 1-3

3 История отечественной математики/Под ред. И.З. Штокам Киев, 1966-1970 Т 1-4

4 Колмогоров А Н Математика//Большая Советская Энциклопедия 2-е изд. 1954 Т 26

5 Математика ХТХ века. Математическая логика Алгебра Теория чисел Теория вероятностей /Под ред. А Н Колмогорова, А.П Юшкевича М , 1978

6 Математика XIX века Геометрия Теория аналитических функций/Под ред. А Н Колмогорова и А.П. Юшкевича М, 1981

7 Математика XIX века Чебышевское направление в теории функций Обыкновенные диффе­ренциальные уравнения Вариационное исчисление Теория конечных разностей / Под ред. А. Н. Колмогорова, А П Юшкевича М, 1987

8 Очерки по истории математики / Под ред. Б. В. Гнеденко М, 1997

9 Рыбников К. А. История математики М, 1994 (В последние годы в виде отдельных брошюр, изданных МГУ, появились дополнительные главы к книге, затрагивающие развитие ряда ма­тематических дисциплин в XX в)

10 Юшкевич А П История математики в России до 1917 года. - М, 1968.

 

Список дополнительной литературы

 

1. Б. В. Гнеденко  Очерки по истории математики в России М -Л, 1946

2. Историк» математические исследования Выи 1-35 М, 1948-1994,2-я серия. Вып. 1(36)-7(41). М, 1995-2002

3. Стройк Д.Я.  Краткий очерк истории математики М, 1978

4. Хрестоматия по истории математики Арифметика и алгебра Теория чисел Геометрия/Под ред. А. П. Юшкевича М , 1976

5. Хрестоматия по истории математики Математический анализ Теория вероятностей / Под ред.
А. П.  Юшкевича М , 1977

 

 

 

 

Теория экстремальных задач и создание функционального анализа

Демидовым В.Б., Дорофеева А.В., Тихомиров В.М.

 

 

Многое побуждает людей ставить и решать экстремальные задачи - за­дачи на максимум и минимум.

Для древних стимулом были эстетические причины, стремление к совер­шенству, любознательность. Эти черты были свойственны человеку во все времена, и поныне они дают поводы к поиску оптимальных решений.

Вторая причина связана с не совсем понятным свойством природы: при осуществлении природных явлений кто-то как бы решает некие задачи на ми­нимум или максимум, так что законы природы диктуются экстремальными принципами.

И нельзя не назвать прагматические причины, стремление человека наи­лучшим образом распорядиться имеющимися у него ресурсами. Это приво­дит к необходимости решать экстремальные задачи в экономике, технике, при управлении различными процессами.

Цель этой главы - ознакомить читателя с историей теории экстремума и с влиянием этой теории на формирование некоторых разделов анализа два­дцатого века.

 

Первые задачи на максимум и минимум

Простейшие задачи на максимум и минимум обсуждались уже на заре развития греческой математики. Древнейшими из них являются, по-видимо­му, классические изопериметрическая задача (нахождение замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь) и изопифанная задача (определение замкнутой поверхности заданной площади, ограничивающей наибо­льший объем). Они были вызваны к жизни эстетическими причинами - поис­ком совершенных форм.

В комментариях трудов Аристотеля, принадлежащих Симпликию (VI в. н.э.) (одному из учеников афинской школы платоников), утверждается, что еще до Аристотеля (384-322 до н.э.) было осознано, что среди изопериметрических фигур наибольшей вместимостью обладает круг, а среди изопифанных - шар. Зенодор (Ш-П вв. до н.э.) доказал, что из всех изопериметрических многоуго­льников с равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный - это может служить ключом к решению изопериметрической задачи. (Сочи­нение Зенодора не сохранилось, до нас дошло его изложение в комментариях Теона Александрийского (IV в. н.э) к «Альмагесту» Птолемея.)

Решения задач на максимум и минимум встречаются у всех троих вели­чайших математиков древности - Евклида (Ш в. до н.э.), Архимеда (287-212 до н.э.) и Аполлония (ок. 260-ок. 170 до н.э.). В «Началах» Евклида решена одна за­дача на минимум - о параллелограмме, у которого одна вершина совпадает с верши­ной треугольника, а остальные лежат на сторонах, - наименьшей площади. Архи­мед в сочинении «О шаре и цилиндре» доказывает, что среди сегментов шара

заданной боковой поверхности наибольшим объемом обладает полу шар. Аполло­ний в своем великом труде «Конические сечения» (или «Коники», как его час­то называют) рассматривает задачу о том (далее цитируется книга Б.Л. ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука» [1]): «как провести из одной точки 0 к коническому сечению самый длинный и самый короткий отрезок». При этом, - пишет далее ван дер Варден, - «он дает больше, чем обещает: он определяет все проходящие через 0 прямые, которые пересекают коническое сечение под прямым углом (в настоящее время их называют нормалями), разбирает, при каком положении 0 задача имеет два, три или четыре решения». Невоз­можно не восхититься этому!

Первый вариационный принцип в естественных науках был также сфор­мулирован в античности: Герои Александрийский (I в. до н.э.) в сочинении «О зеркалах», анализируя поведение луча света, утверждает, что «луч света все­гда должен идти кратчайшим путем». Отсюда он вывел закон отражения све­та от зеркала.

В XVII в., еще до рождения анализа, был решен ряд экстремальных за­дач из геометрии. Ученики Галилея Эванжелиста Торричелли (1608-1647) и Винченцо Вивиани (1622-1703) решили несколько планиметрических задач, например, о нахождении точки на плоскости сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Несколько экстремальных задач из меха­ники решил сам Галилео Галилей (1564-1642). В частности, он доказал, что наибольшая дальность полета снаряда соответствует наклону ствола орудия в сорок пять градусов. Об экстремальных задачах, решенных до начала разви­тия теории см. [2-6].

 

Начальный этап теории экстремума

 

Множество экстремальных задач решено в книге Иоганна Кеплера (1571-1630) «Новая стереометрия винных бочек» (1615) (в частности, там ре­шается задача о цилиндре, максимального объема, вписанном в шар). В этой кни­ге содержится мысль о том, что «вблизи всякого максимума изменения нечув­ствительны». Эта идея находит свое математическое выражение в теореме, которую связывают ныне с именем Пьера Ферма (1601-1665). Согласно этой теореме в точке локального экстремума(Здесь и всюду далее речь идет об экстремальности в локальном смысле)  гладкой функции ее производная дол­жна равняться нулю. Ферма вспоминал, что эта мысль пришла ему в голову впервые в 1629 г., но письменно он выразил суть дела в послании к Робервалю в 1638 г. Понятия производной тогда не было, и Ферма (для полиномов) объяс­нял, что в точке экстремума (как мы сейчас скажем) главная линейная часть функции нулевая. В том же письме Ферма проиллюстрировал свой метод ре­шением задачи о прямоугольном треугольнике максимальной площади с задан­ной суммой катетов.

 

С письма Ферма Робервалю естественно отсчитывать начало теории эк­стремума.

 

Ферма (1662) впервые в новое время выдвинул и вариационный принцип в физике. Закон преломления света, установленный экспериментально Вилленбордом Снеллиусом (1580-1626), Ферма вывел из общего вариационного принципа в оптике, согласно которому свет избирает такую траекторию от одной точки до другой, по которой его путь всего короче по времени.

Математический анализ своим рождением во многом обязан потребно­сти решать задачи на максимум и минимум. Это подчеркивали оба создателя анализа - Ньютон и Лейбниц. Исаак Ньютон (1643-1727) заложил начала ана­лиза (или, по его выражению, «метода флюксий») в 1665-1667 гг., находясь в тот период в небольшом селении Вулстропе (месте своего рождения), где он скрывался от свирепствовавшей в Англии чумы. Изложение основ метода флюксий содержалось в работе «Анализ с помощью уравнений с бесконеч­ным числом членов», завершенной, по-видимому, к 1669 г. Содержание этого труда было частично раскрыто в переписке 1671 г., а полностью он был опуб­ликован лишь в 1711 г. Для Ньютона производная - это флюксия, скорость из­менения функции, и потому необходимое условие экстремума он выразил так: «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот мо­мент она не течет ни назад, ни вперед».

Готфриду Лейбницу (1646-1716) принадлежит первая публикация по анализу (Acta Eruditorum, 1684) (Acta Eruditorum - первый научный журнал в истории)). Заглавие работы начинается со слов: «Но­вый метод нахождения наибольших и наименьших величин...». И Ньютон, и Лейбниц уже явно формулируют необходимое условие экстремума в некото­рой точке в гладкой задаче без ограничений, как равенство нулю производ­ной в этой точке.

Следующее замечательное событие в теории экстремума произошло в 1696 г., когда на страницах Acta Eruditorum появилась заметка Иоганна Бернулли (1667-1748), озаглавленная так: «Новая задача, к решению которой при­глашаются математики». Там был поставлен такой вопрос: «каков должен быть путь АМВ тела М, спускающегося в вертикальной плоскости из точки А в точку В под действием собственной тяжести, за кратчайшее время. Эта задача получи­ла название задачи о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска). Лейбниц охарактеризовал эту задачу как «прекрасную и доныне неизвестную».

На приглашение И. Бернулли откликнулись его старший брат Якоб Бернулли (1654-1705), Гийом Лопиталь (1661-1704) (бравший уроки у И. Бернул­ли, автор первого учебника по математическому анализу), Лейбниц и еще один ученый, который опубликовал свое решение анонимно. Но И. Бернулли как «ex unge leonem» (по когтям - льва) определил автора - им был Ньютон.

С задачи о брахистохроне ведут отсчет новому разделу теории экстрему­ма - вариационному исчислению, хотя до брахистохроны, в «Математиче­ских началах натуральной философы» (опубликованных в 1887 г.) Ньюто­ном было описано решение задачи инженерного происхождения (о теле вра­щения, испытывающего наименьшее сопротивление при движении в разре­женной среде), где, как и в задаче о брахистохроне, аргументом является кривая. Ньютон опубликовал решение в виде пропорции, которую И. Бернул­ли и Лопиталь записали как дифференциальное уравнение     Они проинтегрировали это уравнение подстановкой у' = р и получили выражение для решения (кривой Ньютона) в параметрическом виде:

 

           

Но о кривой, доставляющей минимум в «аэродинамической задаче Нью­тона» (кривой Ньютона) уместно будет поговорить подробнее позже, когда будут рассматриваться проблемы современной теории экстремума, а именно, проблемы оптимального управления.

О начале развития теории экстремума и вариационного исчисления см. [2; 4-6; 7].

 

Работы Эйлера и Лагранжа по вариационному исчислению

 

Иоганн Бернулли поставил перед юношей, слушавшим его лекции в Базельском университете, проблему: найти общий метод решения задач, сходных с брахистохроной. Этим юношей (поступившим в университет в 13 лет) был Ле­онард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал общий метод решения задач «сход­ных с брахистохроной» в 1732 г., а затем совершенствовал его в течение 12 лет. Итоги своих размышлений Эйлер подвел в своем знаменитом мемуаре «Methodus Inveniendi...» (Geneva, 1744) («Метод нахождения кривых ли­ний, обладающих свойством максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле» [8]).

Эйлер рассмотрел класс задач, включающий брахистохрону, называе­мых ныне простейшими задачами вариационного исчисления. Их можно опи­сать так: среди гладких плоских кривых , определенных на фиксированном от­резке  и принимающих на концах его заданные значения , требуется найти такую,  для которой интеграл    с заданной функцией (называемой интегрантом) достигает своего минимального (или максимального) значения. Формализация такой экстремальной задачи имеет вид:

 

                                         (1)

где полагается, что , а интегрант L является функцией непрерывно-дифференцируемой.

 

Для задачи (1) Эйлер нашел необходимое условие экстремума, согласно которому кривая  подозреваемая на экстремум, должна удовлетворять следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго по­рядка, получившему название «уравнения Эйлера»:

где  

Решения уравнения Эйлера стали называть экстремалями задачи (1). Константы, содержащиеся в общем решении этого уравнения, следует затем использовать для удовлетворения соответствующих граничных условий задачи (1).

Для вывода своего уравнения Эйлер разбил отрезок  точками  (полагая ) на n  равных промежутков длины  заменил кривую  ломаной с вершинами  где  производную  - наклонами этой ломаной, определяемыми отношениями  а интеграл  -  суммой   Задача о вычислении экстремума интеграла была сведена таким образом к задаче на отыскание экстремума функции n пере­менных. Впервые подобный прием применил Лейбниц, решая задачу о бра­хистохроне.

Первые задачи с кратными интегралами также рассматривал Эйлер (1770). Не имея развитой техники работы с двойными и криволинейными ин­тегралами, он ограничился выводом необходимого условия для задачи от двух переменных на плоском прямоугольнике. В 1813 г., решая задачу о при­тяжении точки трехосным эллипсоидом, Карл Гаусс (1777-1855), доказав формулы для преобразования объемного интеграла в поверхностные и по­верхностных в криволинейные, вывел аналог уравнения Эйлера для двумер­ных задач. В общей форме это уравнение было получено Михаилом Василье­вичем Остроградским (1801-1862) в 1834 г. Если рассматривается задача

                                                                                                   (2)

где    -  d-мерная независимая переменная,   - область в     -  граница этой области, x = x(t)  - подлежащая определению функция,

 - ее градиент,  L - интегрант задачи (2), являющийся функцией 2d +1 переменной,  - функция, определяющая в задаче (2) гранич­ное условие, то реализация на (подозреваемой на экстремум) функции  уравнения Эйлера в современных обозначениях имеет вид:     

В 1755 г. к Эйлеру присоединился еще один великий математик XVIII в. - Жозеф Лагранж (1736-1813). В письме к Эйлеру от 12 августа 1755 г. Лагранж изложил другой подход к исследованию свойств экстремальных кри­вых. Он предложил для нахождения экстремума варьировать кривую, подозре­ваемую на экстремум, выделяя главную линейную часть приращения. Чуть модернизируя то, что предложил Лагранж, можно сказать, что он (как в свое время Ферма для задачи о минимизации функции одного переменного) выде­лил главную линейную часть у приращения функционала J задачи (1) в точке   

 

где    Это выражение получило название первой вариации функционала J в точке . Если  доставляет экстремум в задаче (1), то первая вариация функционала J в этой точке должна равняться нулю. Преобразовав первую вариацию, Лагранж вывел и само уравнение Эйлера для задачи (1). Сейчас этот вывод содержится в любом учебнике по вариационному исчислению.

Эйлер высоко оценил метод девятнадцатилетнего юноши. В своем отве­те он написал, что сумел продвинуться в теории, используя методологию Лагранжа, но он будет воздерживаться от публикации своих результатов, предо­ставляя своему юному коллеге извлечь все следствия из своих идей - беспри­мерный акт благородства.

Лагранж опубликовал изложение своих идей в работе «Опыт нового ме­тода для определения максимумов и минимумов неопределенных интегра­лов» в первом томе Туринской академии (Miscellanea Taurinmensia, v.l, 1759). Эйлер начал свои публикации по этим вопросам спустя почти десятилетие по­сле получения первого письма Лагранжа. В работе «Элементы исчисления ва­риаций» (Novi Comm. Petrop, v.X, 1764) он вводит термин «.вариация» и «.вариа­ционное исчисление»,

В своих исследованиях Эйлер и Лагранж по существу выступили провоз­вестниками создания гладкого бесконечномерного анализа. Приведем слова Эйлера: «Когда речь идет о кривой [...], то при помощи дифференциалов мы переходим от одних точек кривой к другим точкам той же кривой, в то время, как если перейти от этой кривой к другой, ей очень близкой [...], то он осуще­ствляется при помощи вариаций».

Эйлер и Лагранж принялись изучать также задачи с ограничениями. Для таких задач Лагранж стал применять общий прием, суть которого на примере гладких задач с ограничениями типа равенств

 

                                                                                     (3)

 

 

он выразил в следующих словах: «Можно высказать следующий общий прин­цип. Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих пере­менных при условии, что между этими переменными имеется связь, задавае­мая одним или несколькими уравнениями, нужно прибавить к функции, о ко­торой говорилось, функции, задающие уравнения связи, умноженные на не­определенные множители, и искать затем максимум и минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизве­стных». (J.Lagrange. Ouevres, Paris, 1881, v.9, p.292). Иначе говоря, Лагранж предлагал, вводя набор  составлять функцию

 (правда, сначала в такой функции Лагранжа полагали множитель при    равным единице, но со временем было осознано, что пра­вильнее этот функционал также умножать на неопределенный множитель ; числа (Предполагая, что не все множители  равны нулю.) принято называть множителями Лагранжа] и для построенной так функции искать ее экстремум, действуя так, «как если бы ее переменные были бы независимыми», т.е. применять теорему Ферма для экстремальной задачи без ограничений. В итоге мы приходим к следующему необходимому условию локального экстремума в задаче (3):

Это равенство называют иногда условием стационарности, а сам предло­женный метод решения задач вида (3) - правилом множителей Лагранжа. Ана­логичные приемы Лагранж применял и в задачах вариационного исчисления.

Методы Эйлера и Лагранжа позволили найти решения множества конк­ретных задач, интересных для естествознания и геометрии. Среди них задачи о провисании тяжелой нити (вопрос был поставлен Галилеем в 1638 г.), о мини­мальной поверхности вращения (этим вопросом интересовался Лейбниц), о кратчайших линиях на поверхности (вопрос поставил И. Бернулли), о равнове­сии упругой струны и балки (задача была сформулирована и решена самим Эйлером). Теми же методами были решены разнообразные варианты класси­ческой изопериметрической задачи.

Пьер Мопертюи (1698-1759), Эйлер и Лагранж, осознали, что вариацион­ное исчисление является языком естествознания и что законы природы выво­дятся из соответствующих вариационных принципов. Предметом оживленных дискуссий был так называемый принцип наименьшего действия, из которого вы­водились разнообразные законы природы. Само слово «действие» (actio) было впервые употреблено Лейбницем. В несколько расплывчатой форме принцип наименьшего действия выразил Мопертюи, объявив об универсальности это­го закона. Эйлер и Лагранж придали смутным высказываниям Мопертюи точный смысл и сумели вывести из принципа наименьшего действия законы движения. Это дало повод Эйлеру произнести такие (часто цитируемые) сло­ва: «В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-ни­будь максимума или минимума».

О развитии вариационного исчисления в XVH в. см. [7; 9—11].

Работами Эйлера и Лагранжа были заложены основания теории экстре­мума. Естественно задаться вопросом:

 

Из каких частей складывается теория экстремума?

 

Исследовать экстремальную задачу средствами анализа становится воз­можным после ее формализации, т.е. перевода ее формулировки на язык ма­тематического анализа.

Формализовать экстремальную задачу - это значит описать минимизи­руемый функционал , его область опре­деления X и ограничение Q с X. Ограничения обычно задаются системой ра­венств и неравенств.

Мы далее употребляем такую запись формализованной проблемы:

 (или  где уже применяемым нами ранее термином «экст­ремум», введенным Паулем Дюбуа-Реймоном (1831-1889) в 1879 г., объединя­ются понятия максимума и минимума). В связи с каждой экстремальной зада­чей можно поставить такие вопросы:

- каковы необходимые условия экстремума в задаче?

- как описывается эволюция решения при возмущении задачи и каковы достаточные условия экстремума?

- существует ли решение задачи?

- возможно ли найти решение явно и, если это затруднительно, то как найти его численно?

Так что далее мы рассказываем об истории необходимых условий, доста­точных условий и теории Гамильтона-Якоби, теории существования и алго­ритмов нахождения решений. А по ходу дела будем обсуждать связи теории экстремума с проблемами естествознания, техники и экономики.

 

Необходимые условия экстремума

 

Необходимыми условиями экстремума для разнообразных классов экст­ремальных задач занимались многие выдающиеся математики. Известны не­обходимые условия Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Остроградского (об этом мы уже кое-что сказали), Лежандра, Пуассона, Якоби, Вейерштрасса, Кнезера, Больца, Блисса, Джона, Куна-Таккера, Понтрягина и многих, многих других.

Но выяснилось, что все эти необходимые условия могут быть осознаны, если руководствоваться уже описанной нами идеей Лагранжа: составь функ­цию Лагранжа и действуй, как если бы переменные были независимы. Проил­люстрируем это сначала на примере общих задач вариационного исчисления.

Пусть экстремальная задача рассматривается на конечном промежутке  и пусть

 

 

(Это значит, что здесь  является непрерывно-дифференцируемой n-мерной вектор-функцией, и-непрерывной r-мерной вектор-функцией, а t0, t1 являются подвижными концами интегрирования, причем a <t0 < t1 <b.  Введем функционалы Больца

 

 

где  - их интегранты, а

 

- их терминанты. Экстрема­льную задачу вида

 

                                                        (4)

 

с непрерывной n-мерной вектор-функцией  (определяющей соответст­вующую дифференциальную связь) будем называть задачей Лагранжа.

Локальный экстремум задачи  в пространстве Z называется слабым. Прежде чем формулировать необходимое условие слабого экстремума для такой задачи в общем случае, сформулируем его для одной частной (сводя­щейся к (4)) задачи без ограничений, называемой далее задачей Больца:

 

                                                 (5)

где L и l - гладкие функции. Необходимым условием того, что четверка  доставляет слабый экстремум в задаче (5), служит следующий на­бор требований (далее наличие «крышечек» понимается в том же, как и ра­нее, смысле):

 

1) условие стационарности по 

 

2)условие стационарности по 

 

3)условия трансверсальности по  

 

4) условиями стационарности по подвижным концам интегрирования:

 

    

 

Если последовать теперь за мыслью Лагранжа, то для получения необхо­димых условий слабого экстремума в общей задаче Лагранжа (4) надо соста­вить функцию Лагранжа (Далее используется сокращенная запись  вместо   для вектора-строки   и вектора-столбца x с координатами   выписанными в стол­бец. Когда мы пишем Rn подразумеваем, что это - совокупность векторов-столбцов. Множители Лагранжа мы полагаем вектор-строками.) :

 

 

 

 

(4), и уже для построенной функции  выписать необходимые условия слабого экстремума, действуя при этом так, «как если бы ее переменные были бы независимыми». Иными словами для получающейся задачи Больца следует выписать рассмотренные выше условия стационарности по х и по и, условия трансверсальности по х и условия стационарности по подвижным концам интегрирования. Этот способ решения задачи (4) мы будем называть принципам Лагранжа для задачи Лагранжа.

 

Распространение принципа Лагранжа на решение различных задач классического вариационного исчисления было предметом исследований на протяжении двух столетий. Вот как это осуществлялось в исторической перс­пективе.

В «Methodus Inveniendi...» Эйлер вывел необходимое условие слабого эк­стремума не только для простейшей задачи вариационного исчисления, о чем уже рассказывалось, но также для изопериметрической задачи вида

 

 

В последнем случае искомое необходимое условие связано с дифферен­циальным уравнением, называемым уравнением Эйлера-Пуассона (Симеон Пуассон (1781-1840) исследовал задачу со старшими производными в более общей ситуации). Ученик Вейерштрасса Адольф Кнезер (1862-1930) исследо­вал условия экстремума в задачах с подвижными концами и вывел условия трансверсальности (ему же принадлежит и сам термин «(трансверсальность»).

При этом все эти, и многие другие результаты, являются следствиями сфор­мулированного выше общего принципа Лагранжа.

 

 

Две теоремы

 

 

В двадцатом веке (к девятнадцатому мы еще вернемся) произошли два значительных изменения: во-первых, стали изучать задачи с неравенствами, а во-вторых, вариационное исчисление получило дальнейшее развитие в рам­ках оптимального управления. Обсудим их на примере минимизации функцио­налов.

 

Формализация конечномерной задачи на минимум с ограничениями-не­равенствами имеет вид:

 

 

 

 

Для задачи (4') будем считать, что она рассматривается в пространстве элементов где  - кусочно  непрерывно-дифференцируемая  n-мерная вектор-функция, а  - кусочно не­прерывная r-мерная вектор-функция.

Как и в задаче (4), здесь вводятся набор соответствующих множителей Лагранжа полный

 

Мы видим, что задача (3') обобщает (3), а (4') - (4), но видны также от­личия (З') от (3) и (4') от (4) - наличие неравенств и ограничений «типа включений». Сформулируем для задач (3'), (4') основополагающие утвер­ждения.

 

 

 

 

Теорема 1 (принцип Лагранжа для задачи (3’)).

 

 

I. Гладкий случай.

Пусть, а все функции  непрерывно-дифференци­руемы в окрестности точки  Тогда, если  - локальный минимум в задаче (З), то найдутся множители Лагранжа  не равные одновременно нулю, такие, что выполняются условия

 

 

a.) неотрицательности:  ;

b.) дополняющей нежесткости:    ;

c.) стационарности:

 

 

 

 

II. Выпуклый случай.

 

Пусть подмножество выпукло, функции  выпуклы на , a   - аффинны (т.е. суммы ли­нейной функции и константы). Тогда, если  - локальный минимум в задаче (З’), то найдутся множители Лагранжа, не равные одновременно нулю, такие, что выполняются условия

 

Теорема 2 (принцип Лагранжа для задачи (4')).

 

Пусть в задаче (4') выполняется условие гладкости, согласно которому все функции  непрерывно дифференцируемы в точке , все функции , и отображение  непрерывны вместе со своими производными   в окрест­ности множества

 

Тогда, если   доставляет в (4') локальный сильный мини­мум, то найдутся множители Лагранжа , не равные одно­временно нулю, такие, что выполняются условия

 

 

Доказательства обеих этих теорем содержатся в [2]. Теорему 2 мы будем называть коротко принципом максимума. Об общей теории экстремума см. [2].

 

 

Завершение теории необходимых условий в вариационном исчислении

 

Теоремы 1 и 2 были получены в середине двадцатого века (чуть позже мы расскажем о том, кем они были доказаны), а сейчас вернемся опять во вре­мена Эйлера и Лагранжа, чтобы рассмотреть достижения математиков во­семнадцатого и девятнадцатого столетий с позиций принципа Лагранжа.

Простейшая задача вариационного исчисления (1) на минимум очевид­ным образом сводится к задаче Лагранжа

 

                       4’’

(здесь ,     - функциональные концы интегрирования, а интегрант L – гладкая функция своих переменных). Если при­менить теорему 2 к задаче (4"), то, вводя лагранжиан  (нетрудно проверить, что в задаче (4") полным интегрантом можно считать исходный интегрант L = L(t,x,u) с единичным множителем при нем - допуще­ние равенства нулю множителя Лагранжа при L приводит к противоречию с принципом максимума), принцип минимума по и примет следующую форму:

 

                                       (7)

 

Заметим, что здесь , и что в задаче Лагранжа (4") из принципа минимума по и должно реализовываться равенство  , откуда . Поэтому условие (7) по отношению к исходной задаче (1) можно переписать в виде

 

                                                                                                     (8)

 

Соотношение (8) называется необходимым условием Вейерштрасса локаль­ного сильного минимума для простейшей задачи вариационного исчисления (1). (Функция  доставляет в задаче (1) локальный сильный минимум, если существует число  такое, что в этой задаче  Для любой до­пустимой функции  при

Роль Карла Вейерштрасса (1815-1897) в вариационном исчислении иск­лючительно велика. Он читал лекции по этому предмету с 1859 по 1890 гг., и они оказали большое воздействие на развитие всей теории экстремальных за­дач в девятнадцатом веке. Опубликованы эти лекции были много позднее - в 1927 г. в собрании его сочинений. Условие Вейерштрасса (8) означает, что функция    достигает своего минимума при  и

следовательно, вторая производная  неотрицательна. А поэто­му, возвращаясь к задаче (1), приходим к неравенству                                                 (9)

в качестве необходимого условия локального сильного минимума для простейшей задачи вариационного исчисления. Требование (9) впервые появилось у Адриена Лежандра (1752-1833) как необходимое условие локального слабого ми­нимума в задаче (1) - оно содержится в его «Мемуаре о различении максиму­мов и минимумов», опубликованном в 1786 году. Поэтому сейчас соотноше­ние (9) называется просто необходимым условием Лежандра для локального минимума в простейшей задаче вариационного исчисления.

Решая проблему о достаточных условиях в простейшей задаче вариаци­онного исчисления (1), Карл Якоби (1804-1851) разложил разность  по  вплоть до второго порядка и изучил поведение второй вариации  функционала J в точке . Применяя интегрирова­ние по частям (при естественных для задачи (1) ограничениях , ее можно представить в виде

 

 

где   а  . Условие локального слабого мини­мума в точке  для задачи (1) в терминах первой и второй вариации анало­гично условию минимальности для конечномерной экстремальной задачи:

 

  и 

 

Вопрос о неотрицательности второй вариации на экстремали *(•), достав­ляющей локальный слабый минимум в задаче (1), можно свести к анализу эк­стремальной задачи с квадратичным функционалом

 

                                                              (10)

 

имеющей очевидное решение - тождественный нуль. После формализации (10) как задачи Лагранжа (уже исследованного вида (4’’)) и применения к ней принци­па максимума, тогда придем к неравенству . А это означа­ет, что (как и утверждалось выше) условие Лежандра (9) действительно является необходимым условием локального слабого минимума для задачи (1). Уравнение Эйлера для задачи (10) имеет вид:

 

(оно получило название однородного уравнения Якоби для задачи (1)). Нули нену­левого решения уравнения (11) с начальным условием  называют точ­ками, сопряженными с точкой . Если сопряженная с  точка т принадлежит интервалу , то на ломаной кривой, идущей по решению уравнения (11) от  до , а затем нулем, квадратичный функционал задачи (10) принимает нуле­вое значение (как и на тождественном нуле). Но можно показать, что этот факт (наличие «ломаной экстремали») противоречит принципу максимума (для за­дачи (10) после ее формализации как задачи Лагранжа). Отсюда вытекает, что, «сгладив» угловую точку, можно добиться того, что квадратичный функ­ционал задачи (10) принимает отрицательное значение. А это означает, что  не является в задаче (1) локальным слабым минимумом. Отсутствие в интерва­ле  сопряженной с  точки называют условием Якоби для задачи (1).

Резюмируя вышесказанное получаем, что необходимыми условиями ло­кального слабого минимума в задаче (1) служат реализация на  уравнения Эйлера, условие Лежандра и условие Якоби. Эти же условия плюс условие Вейерштрасса являются необходимыми условиями для локального сильного минимума в данной задаче.

Таким образом, используя формализацию задачи (1) в виде задачи Лаг­ранжа с применением теоремы 2, может быть изложена теория Якоби лока­льного слабого минимума (которая была построена им в 1836-1837 гг.) и тео­рия Вейерштрасса локального сильного минимума для простейшей задачи ва­риационного исчисления.

На протяжении более века, начиная с «Methodus Inveniendi...» до семидесятых-восьмидесятых годов девятнадцатого века, не было дано достаточно строгого доказательства необходимых условий для задач вариационного ис­числения с ограничениями. Даже для простейшей задачи с ограничениями - изопериметрической задачи - такое доказательство впервые дал лишь Вейерштрасс. Именно он обнаружил, что в функции Лагранжа при минимизируе­мом функционале не надо писать множителя лишь при справедливости неко­его специального требования (которое можно отбросить, если домножать функционал на неопределенный множитель). Неопределенный множитель  ввел Кнезер. Удовлетворившее блюстителей строгости доказательство принципа Лагранжа для простейшей задачи Лагранжа вида

 

      

с закрепленными концами интегрирования было дано Адольфом Майером (1839-1908) в 1886 г. Построение общей теории задачи Лагранжа растянулась еще на полстолетия и было завершено к сороковым годам двадцатого века в основном усилиями «чикагской школы» - группой американских математи­ков, среди которых укажем Гилберта Блисса (1876-1961), Марстона Морса (1892-1977), Эдуарда Мак-Шейна (1904-1988), Магнуса Хестенса (1906-1991). Итоги этих исследований подробно изложены в монографии Блисса [12]. Все эти достижения ныне покрываются теоремой 2.

О теории вариационного исчисления в XIX и XX вв. см. [7, 11-14].

 

Выпуклые экстремальные задачи и рождение выпуклого анализа

 

В конце тридцатых годов XX в. родилось линейное программирование - теория конечномерных задач о минимизации или максимизации линейной функции при линейных ограничениях. Эти задачи были вызваны к жизни проблемами экономики. Ныне общепризнанно, что начало развитию линейно­го программирования было положено скромной брошюрой Леонида Виталь­евича Канторовича (1912-1986) «Математические методы организации произ­водства», выпущенной издательством Ленинградского университета в 1939 г. В силу ряда причин политического характера Л.В.Канторовичу не было по­зволено активно заниматься теорией линейного программирования и ее при­ложениями к конкретной экономике, и дальнейшее развитие линейного про­граммирования происходило в сороковые годы двадцатого столетия за рубе­жами нашей страны. Это развитие во многом связано с именами Джона фон Неймана (1903-1957), Альберта Таккера (1906-1995), его учеников Гарольда Куна и Дэвида Гейла, а также с деятельностью Джорджа Данцига.

В разви­тии экономической теории на базе линейного программирования большое участие принял Тьяллинг Купманс. Ему и Л.В. Канторовичу в 1975 г. была присуждена Нобелевская премия по экономике.

 

В 1948 году Фритц Джон (1910-1994) (иногда его фамилию по-русски транскрибируют, как Ион) доказал гладкий вариант теоремы 1. Ее выпуклый вариант был доказан в диссертации Вильяма Каруша (1917-1997), защищен­ной в 1942 г. в Чикагском университете, а затем переоткрыт Куном и Таккером в 1951 г.

Развитие линейного программирования и теории выпуклых экстремаль­ных задач привело к рождению специальной главы, занявшей промежуточ­ное положение между анализом и геометрией и получившей (с легкой руки Таккера) название выпуклого анализа. Он состоит как бы из двух частей - тео­рии выпуклых множеств (эта теория зародилась еще в XIX столетии в трудах Огюстена Коши (1789-1857), Германа Минковского (1864-1909) и др.) и теории выпуклых функций, получившей важный импульс от Вернера Фенхе­ля (1905-1988): в его канадских лекциях 1949 г. были заложены основы тео­рии двойственности выпуклых функций и построены начала выпуклого ис­числения. Итоги двадцатилетнего развития выпуклого анализа были подве­дены в монографии Ральфа Терри Рокафеллара «Выпуклый анализ» (см. обо всем этом в книге [15].

 

Достаточные условия экстремума и теория Гамильтона—Якоби

 

Вопрос о достаточных условиях в вариационном исчислении впервые (в частном случае) изучал И. Бернулли, но его работа 1718 г. оставалась неизве­стной вплоть до XX в. Систематически эти проблемы стал изучать Лежандр. В упомянутом нами «Мемуаре о различении максимумов и минимумов в ва­риационном исчислении» он стал рассматривать вторую вариацию. Подобно тому, как для функции одного переменного для получения достаточного условия экстремума используется вторая производная (достаточным услови­ем минимума гладкой функции в точке     являются соотношения , Лежандр искал условия того, что при  выполнялось бы неравенство . (Тогда и появилось необходимое условие Лежандра (9) для задачи (1).)

Некоторое время Лежандр полагал, что реализация на   усиленного усло­вия Лежандра   в задаче (1) уже достаточно для по­ложительности второй вариации . И действительно, он привел вто­рую вариацию к «квадрату суммы»:

 

                                      (12)

 

решив, для определения функции , уравнение Риккатги. Но вскоре и сам Лежандр, и Лагранж осознали, что здесь что-то не так, ибо функция  мо­жет иметь особенности.

Проблему достаточности слабого экстремума разрешил лишь Якоби. Он понял, что реализация одних локальных условий на кривой (а именно уравнения Эйлера и условия Лежандра, пусть и в усиленном смысле) еще не может быть гарантией того, что рассматриваемая кривая дает минимум (со­ответственно, максимум) функционала задачи вида (1). В связи с этим Якоби привел замечательный пример - геодезические на сфере. Для дуги большого круга выполнены и уравнение Эйлера, и условие Лежандра, но если большой круг проходит через диаметрально противоположную точку, то он не мини­мален. Якоби показал, что, помимо реализации на кривой  уравнения Эйлера и усиленного условия Лежандра, нужно еще потребовать выполне­ния глобального условия – усиленного условия Якоби, означающего отсутствие со­пряженной с точки в полуинтервале   - чтобы гарантировать в задаче (1) достижение локального слабого минимума на данной кривой.

Условие Якоби допускает замечательное геометрическое описание: оги­бающая семейства экстремалей, имеющих общую начальную точку, не дол­жна пересекаться с кривой, подозреваемой на экстремум, на всем отрезке, на котором эта кривая рассматривается. При выполнении усиленного усло­вия Якоби функция  не имеет особенностей на , и потому предло­женное в (12) приведение второй вариации   к «квадрату суммы» бу­дет уже корректно.

 

В своих исследованиях Якоби опирался на идеи Уильяма Гамильтона (1805-1865), которые тот применял для задач механики и оптики. Идеи Гами­льтона в свою очередь опирались на так называемый принцип Гюйгенса, кото­рый можно в первом приближении сформулировать так: любой фрагмент экстремали является экстремалью. Гюйгенс строил волновую теорию света, и волновой фронт у него был «огибающей» волновых фронтов от источников света, принадлежавших некоторому предшествующему волновому фронту. Гамильтон писал: «Следует сравнивать динамически возможные движения, варьируя конечные точки системы». Здесь заложена фундаментальная идея возмущения экстремальной задачи с целью включения ее в семейство близких задач. Эту идею и воспринял Якоби. Вслед за Гамильтоном (рассматривав­шим систему лучей), он стал рассматривать семейства экстремалей и нахо­дить подобия волновых фронтов в задачах вариационного исчисления, «варь­ируя конечные точки системы». На этом пути и было завершено построение общей теории, получившей в вариационном исчислении название теории Га­мильтона-Якоби.

Существование решений

 

Тема «существование решений» непосредственно связана с двадцатой проблемой Гильберта - одной из двадцати трех знаменитых проблем, постав­ленных в его докладе на парижском Международном математическом конг­рессе 1900 г. (см. [16]). При постановке проблемы Гильберт произнес такие про­роческие слова: «Я убежден, что будет возможно доказывать теоремы сущест­вования с помощью общего принципа, чья сущность навеяна принципом Ди­рихле. Этот общий принцип, возможно, приблизит нас к ответу на следующий вопрос: имеет ли решение каждая регулярная вариационная проблема, если са­мому понятию "решение" при случае придавать расширенное толкование».

«Общий принцип» доказательства теорем существования, о котором го­ворил Гильберт, это, скорее всего, принцип компактности Вейерштрасса-Лебега-Бэра (согласно которому полунепрерывная снизу функция достигает на компакте своего минимума). На этом принципе базируется большинство тео­рем существования. А идея расширения - будь то самого понятия решения или же функционального пространства, в котором ищется решение - одна из центральных в современной теории существования решений.

Постараемся раскрыть смысл высказывания Гильберта и рассказать о развитии его идей.

Начнем с простейшей задачи вариационного исчисления (1), причем для определенности положим, что она рассматривается на минимум. Существует ли решение в такой задаче? На этот вопрос невозможно ответить, не пояснив, где ищется само решение. В данном одномерном случае имеется естественная возможность - ввести самое широкое пространство, в котором сама задача может иметь смысл. Таковым является пространство абсолютно-непрерыв­ных функций. Его обозначают или . А что может пре­пятствовать существованию решения в этом пространстве? Можно назвать три основные причины: невыпуклость интегранта  по , недоста­точный рост этого интегранта по ли неограниченность функционала J снизу. Вот классические примеры, подтверждающие это.

 

Пример 1 (Больца):

 

 

Пример 2 (Вейерштрасса) (Этим знаменитым примером Вейерштрасс аргументировал неполноту аргу­ментов Римапа, касающихся принципа Дирихле.);

 

 

Пример 3 (гармонический осциллятор):

 

 

Нетрудно убедиться в том, что в примерах 1 и 2 нижняя грань равна нулю, но ни на одной функции из AC([0,1]) она не достигается, а в примере 3 нижняя грань равна . В первом примере функция  невыпукла, во втором примере функция  не растет при t = 0. Леониде Тоннели (1885-1946) установил, что если устранить эти причины (т.е. потребо­вать, чтобы интегрант L удовлетворял условию выпуклости по , условию рос­та по  и был ограничен снизу), то решение задачи вида (1) будет существо­вать. А Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) доказал, что с теорети­ческой точки зрения можно считать, что условие выпуклости интегранта у та­ких задач всегда выполнено (ибо можно так «расширить задачу», что она за­менится другой, равносильной, но с условием выпуклости). Эти два результа­та лежат в основе теории существования в случае, когда t одномерно.

Существенно труднее случай . Существование решений со­ответствующих задач вариационного исчисления было одной из горячо об­суждаемых тем в течение всего двадцатого столетия. Здесь надо назвать име­на Жака Адамара (1865-1963), Сергея Натановича Бернштейна (1880-1968), Норберта Винера (1894-1964), Ларса Гардинга, Рихарда Куранта (1888-1972); Анри Лебега (1875-1941), Жана Лере (1906-1998), Чарльза Морри (1907-1984), Эбергарда Хопфа (1902-1983) и др. Теория существования в многомер­ных задачах повлекла рождение новой ветви функционального анализа - теории функциональных пространств. Родоначальником ее стал Сергей Львович Соболев (1908-1989), его работы были продолжены Лораном Швар­цем (1915-2002). Их пионерские исследования далее развивались многими ма­тематиками (Марко Иосифович Вишик, Жан Луи Лионе (1928-2001) и др.).

Этот подход базируется на том, что производится расширение прежде всего самих пространств, на которых рассматриваются вариационные задачи. Так были заложены основы теории обобщенным функций (или по другой терми­нологии - теории распределений). При этом несколько модифицируется сам принцип компактности, и само пространство подыскивается так, чтобы удов­летворить уже модифицированному принципу компактности.

 

Скажем сначала об этой модификации. Рассмотрим общую задачу ми­нимизации:

 

 

где X - банахово пространство,  - минимизируемый функционал, а  - область, задающая ограничение задачи. Напомним, что последователь­ность элементов  называется слабо сходящейся к элементу х, если для любого непрерывного линейного функционала на X имеет место сходимость . Сепарабелъное банахово пространство, в кото­ром из каждой ограниченной последовательности его элементов можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность, называется рефлексивным пространством (если  а  - соответственно, область в  то  при  будет примером рефлексивного пространства). Подмножество пространства X называется секвенциально слабо замкнутым, если предел сла­бо сходящейся последовательности его элементов принадлежит этому под­множеству. Наконец, функционал f в задаче (13) называется коэрцитивным, если для некоторого  его лебегово множество   непусто и ограничено в X. Имеет место следующий результат: если в задаче (13) функционал определен на рефлексивном пространстве, обладает свойствами полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости и коэрцитивен, а ограничение - секвенциально слабо замкнуто, то решение задачи существует,

Многомерная теорема Тонелли о существовании решения (охватываю­щая и одномерный случай) для задачи вида (2) формулируется так: если интегрант  является непрерывной по всем переменным, непрерыв­но-дифференцируемой по  функцией, выпуклой по  (при фиксированных t и х) и удовлетворяющей условию роста , то в пространстве  существует решение задачи.

Заметим, что если в одномерной ситуации пространство вида  применялось математиками уже в начале XX в., то в многомерном случае определение пространства  (здесь замыкание области  предполагается компактным) появилось лишь в 30-е гг. двадцатого столетия. Поясним его построение. Пусть  - функция из . Ее обобщенной частной производной  первого порядка называется линейный функционал на пространстве  (т.е. бесконечно дифференцируемых на  функций, обращающихся в нуль на границе  ), причем такой, что

 

 

Пространством Соболева  называется совокупность функ­ций , у которых все обобщенные частные производные первого порядка принадлежат . Норма в пространстве  определяется формулой:

 

 

Доказательство теоремы Тонелли в многомерном случае проходит по общей схеме: доказывается, что из минимизирующей последовательности обобщенных функций можно выбрать сходящуюся подпоследовательность к элементу из  (здесь требуется чуть углубиться в теорию обобщенных функций), и поясняется, что выпуклость позволяет перейти к пределу по подпоследовательности.

 

Алгоритмы оптимизации

 

Алгоритмы нахождения решений экстремальных задач базируются на разных идеях, среди которых выделим методы целесообразного спуска, методы отсечения и штрафа и методы конечномерной аппроксимации. Так, известный симплекс-метод решения задач линейного программирования, а также мно­гие методы оптимизации квадратичных задач основываются на идее целесо­образного спуска. В свою очередь, используя приемы отсечения и штрафа, строятся весьма эффективные методы выпуклой оптимизации, позволяю­щие добиться сходимости (по функционалу) со скоростью геометрической прогрессии независимо от размерности задачи. Наконец, в задачах вариаци­онного исчисления и оптимального управления широко применяются различ­ные способы аппроксимации задач конечномерными.

В целом же процедуры решения экстремальных задач подразделяются на «прямые» (когда в них не используются необходимые условия экстремума) и «непрямые». Коротко поясним смысл некоторых из них.

Касаясь вопросов минимизации квадратичной функции, рассмотрим за­дачу. (Далее значок Т означает транспонирование, а запись А > 0 - положительную определенность квадратной матрицы А.)

 

                                          (14)

 

где А – заданная , b - заданный n-вектор, с - заданное число, х - п-вектор, подлежащий определению. Задача (14), безусловно, принадлежит к числу простейших и актуальнейших проблем минимизации. Она конечно­мерна и «растет на бесконечности», и потому ее решение  (в силу принципа компактности) существует. По теореме Ферма должно удовлетворяться ра­венство , и дело сводится, таким образом, к решению линей­ной алгебраической системы. Это - задача линейной алгебры и ей посвящена огромная литература, не относящаяся к оптимизации. Одним из основных методов решения таких систем является метод Гаусса последовательного иск­лючения неизвестных. Он прост по вычислительной схеме и устойчив по от­ношению к ошибкам округления. При реализации он требует п3/3 умноже­ний (несмотря на значительные усилия последних лет добиться существенно­го сокращения этого числа не удается).

Что же касается способов решения задачи вида (14), основанных на идее «целесообразного спуска», то здесь мы лишь отметим, что их суть состоит в построении «направленного пошагового спуска к минимуму» непосредствен­но для функции . Таковыми способами, например, являются классиче­ские в вычислительной математике метод сопряженных градиентов, метод наискорейшего спуска и различные их модификации. Подробнее с ними можно познакомиться в любой книге по численной оптимизации.

Для задач линейного программирования очень эффективным оказался уже упоминавшийся симплекс-метод их решения. Этот метод, окончательно разработанный Данцигом в 1947 г., сыграл исключительную роль в истории численных методов оптимизации. Многие математики (в том числе и сам Данциг) не раз говорили, что воспринимают, как чудо пятидесятилетнюю триумфальную «службу» симплекс-метода в бесчисленных исследованиях прикладного характера. Вот как об этом говорит сам Данциг: «The tremendous power of the simplex method is a constant surprise to me» («Меня всегда пора­жала исключительная мощь симплекс-метода»).

Разрабатывались и иные способы решения задач линейного программи­рования. В частности, для них успешно применяются методы, основанные на введении «штрафной функции», сводящей рассматриваемую задачу миними­зации с ограничениями к задаче минимизации без ограничений (или с ограни­чениями более простой структуры) для некоторой параметрической функ­ции, решение которой в пределе (по параметру) дает ответ в исходной экстре­мальной задаче (конструкции Нарендры Кармакара, Ильи Иосифовича Дикина и др.).

 

В выпуклой оптимизации весьма эффективной оказалась идея «отсечения». Пусть рассматривается экстремальная задача

                                                            (15)

где функция f выпукла, множество  выпукло и компактно. В середине шес­тидесятых годов Анатолий Юрьевич Левин в России и Дональда Ньюман в США предложили метод поиска минимума в задаче (15) (в предположении, что f дифференцируема, а множество  содержит внутреннюю точку), бази­рующийся на теореме Грюнбаума-Хаммера. Согласно этой теореме, если че­рез центр тяжести выпуклого тела , в d-мерном пространстве провести ги­перплоскость, то она разобьет это тело на две части и , причем объем любой из них не будет превосходить величины  от объема тела . Ме­тод, построенный на применении этой теоремы и получивший называние ме­тода центрированных сечений, состоит в следующем: сначала находится центр тяжести х0 тела , затем вычисляется градиент  и отсекается от тела  его часть  (легко понять, что в этой части разыски­ваемого минимума нет), а далее с оставшейся частью тела  поступают аналогично.

Метод центрированных сечений не получил практического распростране­ния в силу трудности нахождения центра тяжести. Но его основная идея приме­нима к построению алгоритмов, имеющих большое практическое значение. Их разработкой занимались Давид Борисович Юдин, Аркадий Семенович Немировский, Наум Залманович Шор, Леонид Генрихович Хачиян, Юрий Евгенье­вич Нестеров, Клод Лемарешаль, Аарон Бен-Таль и многие другие.

Для решении задач вариационного исчисления, в том числе задач с управ­лением, применяются в основном прямые методы. Начало их, как уже упоми­налось, положено Лейбницем. Вот, что он писал своему ученику И. Бернулли 31 июля 1696 г. по поводу брахистохроны: «Таким образом, дело сводится к ре­шению легкой задачи: даны две точки А и С и проходящая между ними гори­зонтальная прямая DE; требуется найти на этой прямой точку В, чтобы путь ABC был наискорейшим». Центральная идея здесь - сведение бесконечномер­ной задачи к конечномерной. Эта идея «дискретизации» весьма полезна с тео­ретической точки зрения (Лазарь Аронович Люстерник (1899- 1981) и Иван Георгиевич Петровский (1901-1973) построили теорию слабого экстремума Якоби, базируясь на такой идее). Необходимость решения задач вариационно­го исчисления, связанных с инженерными проблемами, стала особенно актуа­льной в начале XX в. Среди конкретных алгоритмов, реализующих идею ре­дукции бесконечномерной задачи к конечномерной, выделяется предложен­ный в 1908 г. метод Ритца, развитый затем Борисом Григорьевичем Галеркиным (1871-1945) и Иваном Григорьевичем Бубновым (1872- 1919).

В непрямых методах решения экстремальных задач исключительную роль играют рекуррентные методы, в частности, различные модификации метода Ньютона.

Подробнее о методах решения задач на экстремум см. монографию [17].

 

Теория экстремума и рождение бесконечномерного анализа

 

Создание функционального анализа следует отнести к числу ярких науч­ных достижений двадцатого века. Среди его творцов такие имена, как Жак Адамар, Стефан Банах (1892-1945), Норберт Винер, Вито Вольтерра (1860-1940), Израиль Моисеевич Гельфанд, Давид Гильберт (1862-1943), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), Марк Григорьевич Крейн (1907-1989), Анри Лебег, Лазарь Аронович Люстерник, Герман Минковский, Джон фон Нейман, Сальваторе Пинкерле (1853-1936), Анри Пуанкаре (1854-1912), Мар­сель Рисе (1886-1969), Фридьеш Рисе (1880-1956), Эрнест Фишер (1875- 1959), Ивар Фредгольм (1866-1927), Морис Фреше (1878-1973), Феликс Хаусдорф (1868-1942), Эдвард Хелли (1884-1943), Лоран Шварц и др.

Проследим бегло эволюцию основных понятий анализа.

 

О понятии функции. В начале XX в. был совершен переход от числовых функций к функциям абстрактного аргумента. Приведем в подтверждение слова Фреше, сказанные в 1906 г.: «Мы скажем, что функциональная опера­ция Т/ определена на множестве Е какой-либо природы (числа, кривые, точки и т.п.), если всякому элементу А из Е соответствует значение ». В работах Вольтерра (замысел которых созрел, как считается, к 1883 г.) уже была сдела­на попытка создать функциональное исчисление, т.е. строить теорию функций, аргументом которых являются функции. Исходным материалом для Вольт­ерра явились задачи на экстремум. Сам же термин «функционал» был позже введен Адамаром (в его учебнике по вариационному исчислению).

 

О топологии. В девятнадцатом веке было осознано, что область определе­ния функции должна быть оснащена понятием близости. Это было необходи­мо, в частности, для теории экстремума, ибо она, no-преимуществу, является теорией локального экстремума. Начальные топологические понятия были введены Георгом Кантором (1845-1918), определившим понятия предельной точки, замкнутого, открытого множества и т.п. Основы теоретико-множест­венной топологии были заложены Фреше, Хаусдорфом, Павлом Сергееви­чем Александровым (1896-1982), Павлом Самуиловичем Урысоном (1898-1924) и др.

 

Исследование линейных уравнений и понятие линейного пространства. Тео­рия линейных алгебраических уравнений с конечным числом переменных была построена в первой половине девятнадцатого столетия. Это привело к созданию линейной алгебры. Тогда же возникли первые интегральные урав­нения. Теория линейных интегральных уравнений была создана в конце де­вятнадцатого столетия: Вольтерра в серии мемуаров, которые печатались, на­чиная с 1896 года, построил теорию уравнений, получивших его имя

.

Сделал он это методом дискретизации с последующим исследованием семейства конечномерных уравнений.  Общая теория для интегрального уравнения вида  

была построена Фредгольмом (оно стало называться его именем). Он писал, что та­кое уравнение кажется ему «достойным особого внимания геометров, так как большинство проблем математической физики, которые сводятся к линей­ным дифференциальным уравнениям, выражаются этим функциональным уравнением». Фредгольм также использовал идею дискретизации и теорию бесконечных определителей, развивавшуюся Пуанкаре и Хельге Кохом (1870- 1924) впоследствии. Эти работы потребовали рассмотрения простран­ства, в котором искалось решение. Таковым было пространство непрерыв­ных на отрезке функций, которое давно уже неявно участвовало в исследова­ниях по анализу (Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), Вейерштрасс и др.). Понятия бесконечномерного линейного пространства и линейного опе­ратора в явной форме встречаются в работе Фреше 1912 г. Понятие линейного функционала на пространстве  появилось в работе Адамара 1901 г. Ныне термин «линейное пространство» часто заменяется термином «вектор­ное пространство». О развитии теории интегральных уравнений см. [18—20].

 

Соединение линейной и топологической структуры. Уже в работе Фреше 1912 г. был явно описан основной объект линейного функционального анали­за - линейное пространство, снабженное топологией. Этому предшествовали исследования Гильберта 1900-1910-х гг. по интегральным уравнениям с сим­метрическими ядрами, которые увенчались определением абстрактного ги­льбертова пространства и введение Ф. Риссом пространств  в 1906 г. Затем начала выкристаллизовываться идея нормированного пространства (Ф. Рисе, Хелли, Винер, Банах), и выдающуюся роль здесь сыграла моногра­фия Банаха «Теория линейных операций»[21], опубликованная во Франции в 1932 г. Понятие линейного топологического пространства было введено Кол­могоровым в 1934 г., а его важнейший подкласс - локально-выпуклые про­странства был определен в следующем году фон Нейманом. Изучение двой­ственности линейных топологических пространств началось с работы Адама­ра 1901 г. о непрерывных линейных функционалах на пространстве , а окончательную форму описанию пространства сопряженного к  при­дал Ф. Рисе в 1909 г. В 1907 г. Ф. Рисе и Фишер доказали «самодвойствен­ность» гильбертова пространства. Бурбаки завершил построение теории двойственности для локально-выпуклых пространств.

Одним из первых программных выступлений, посвященных бесконечно­мерному анализу, был доклад Гильберта «Сущность и цели анализа функций бесконечного числа переменных», подготовленный им для Международного математического конгресса в Риме 1908 г. Это была попытка окинуть взором просторы зарождающейся новой науки и призвать к планомерному освоению новых территорий. «Конечно, - отмечал Гильберт - в подобном предприятии нам угрожает опасность потеряться в слишком трудных и туманных рассуж­дениях безо всякой пользы для более глубоких проблем. Но если ничто не собьет нас с пути, то мы уподобимся Зигфриду, перед которым огненный вал расступается сам собою, и тогда нас ждет чудесная награда - единое построе­ние алгебры и анализа.» Гильберт предвидел, что вариационное исчисление будет базироваться на бесконечномерном анализе. Вот его слова. «Вариаци­онное исчисление в широком смысле - это учение об изменении функций и в качестве такового оно является естественным продолжением дифференциа­льного и интегрального исчисления». О зарождении функционального анали­за см. [21-23].

Начала нелинейного анализа и теория экстремума Определение произ­водной, данное Фреше в 1912 г , позволило вложить классическое вариацион­ное исчисление и (созданную на его основе в середине XX в) теорию оптима­льного управления в общие рамки дифференциального исчисления и выпук­лого анализа (в бесконечномерных пространствах) При этом сами задачи ис­следуются точно так же, как конечномерные задачи. Проблемы вариацион­ного исчисления исследуются аналогично тому, как гладкие конечномерные задачи (и если правило множителей Лагранжа, скажем, доказывается с помо­щью конечномерной теоремы об обратном отображении, то аналогичная тео­рема, касающаяся задачи Лагранжа, доказывается с помощью бесконечно­мерного аналога теоремы об обратном отображении, первый вариант которо­го был доказан Люстерником в 1934 г.). А задачи оптимального управления для своего исследования требуют сочетания дифференциального исчисления и выпуклого анализа, ибо интегрирование влечет за собой некую (обычно скрытую) выпуклость Наличие этой выпуклости находит свое отражение в знаменитом принципе максимума Понтрягина - необходимом условии в об­щей задачи оптимального управления. Так что та теория экстремума, кото­рая была изложена выше, строится на сочетании нелинейного и выпуклого анализа.

О связях вариационного исчисления и оптимального управления с функ­циональным анализом см. [11; 24].

 

Список литературы

1.  Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука М , 1959

2.  Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М , 1979

3.  История математики с древнейших времен до начала XIX столетия В 3-х т / Под ред. А. П. Юшкевича) Т 3 М , 1972

4. Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления //Историко-математические исследования (ИМИ) М -Л , 1949 Вып 2 С 355-498

5. Тихомиров В М Рассказы о максимумах и минимумах М, 1986

6. Демидовы В Б Экстремальные задачи//Математика в школе М , 2000 Вып 8 С 56-59

7. Дорофеева А В, Тихомиров В М История экстремальных задач и предыстория функциональ­ного анализа // Очерки по истории математики  / Ред. Б. В. Гнеденко М , 1997 С 423-493

8. Эйлер А Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо мини­мума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле М, 1934

9. Вариационные принципы механики/Под ред. А.С. Полака М, 1959

10. Дорофеева А.В. Развитие вариационного исчисления как исчисления вариаций//ИМИ М.1961 Вып.14. С 101-180.

11. Дорофеева А В, Тихомиров В М От правила множителей Лагранжа до принципа максимума Понтрягина//ИМИ М , 1980 Вып 25 С 104-128

12. Блисс ГА Лекции по вариационному исчислению М , 1950

13. Дорофеева А. В. Вариационное исчисление во второй половине XIX века // ИМИ М, 1963 Вып 15 С 99-128

14. Математика XIX века Чебышевское направление теории функций Обыкновенные диффе­ренциальные уравнения Вариационное исчисление Исчисление конечных разностей / Ред А Н Колмогорова и А П Юшкевича) М , 1987

15. Магарил Илъяев Г.Г., Тихомиров В. М.  Выпуклый анализ М , 2003

16. Проблемы Гильберта / Под ред. П. С. Александрова. М, 1969

17. Васильев Ф. П.  Методы оптимизации М , 2002

18. Дорофеева А. В.  Развитие теории интегральных уравнений до работ Гильберта История и ме­тодология естественных наук (ИМЕН) М, 1973 Вып 14 С 92-105

19.  Дорофеева А. В.  Создание классической теории интегральных уравнений с симметрическим ядром//ИМЕН М Вып 16 С 63-77

20.  Полиидк Е М Вито Вольтерра. Л , 1977

21 Банах С. Теория линейных операций Москва-Ижевск, 2001

22 Бурбаки. Н. Очерки по истории математики М , 1963

23 Леей П. Конкретные проблемы функционального анализа М , 1967

24 Янг А. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления М , 1974